圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为25.(1)求圆C的方程;(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出l的方
题目
圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为
2.
(1)求圆C的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为25可得圆心到x轴的距离为2∴C(1,-2)∴圆C的方程是(x-1)2+(y+2)2=9--(4分)(2)设L的方程y=x+b,以AB为直径的圆过原点,则OA⊥OB,设A(x...
(1)由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为
2可得圆心到x轴的距离为1,则可知C(1,-2),从而可得圆C的方程
(2)设L的方程y=x+b,以AB为直径的圆过原点,则OA⊥OB,设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则x
1x
2+y
1y
2=0,联立直线方程与圆的方程,由△=(2+2b)
2-4×2(b
2+4b-4)>0 可得
−3−3<b<
3−3,由方程的根与系数的关系代入x
1x
2+y
1y
2=0,可求b,从而可求直线方程
直线和圆的方程的应用.
本题主要考查了直线与圆相交关系的应用,方程的根与系数关系的应用,属于基本知识的综合应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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