计算曲面积分ds/x^2+y^2+z^2.其中L是介于平面z=0及z=h之间的圆柱面x^2+y^2=R^2

题目

计算曲面积分ds/x^2+y^2+z^2.其中L是介于平面z=0及z=h之间的圆柱面x^2+y^2=R^2

答案

根据圆柱面的面积公式,ds=2πRdz
把x^2+y^2=R^2带入原积分得到
原积分=∫ds/(x^2+y^2+z^2)=∫(0->h) 2πRdz/(R^2+z^2)
=2π∫(0->h) d(z/R)/[1+(z/R)^2]
=2π arctan(z/R) |(0->h)
=2π arctan(h/R)