n阶方阵A对任意n维向量x,满足x^TAx=0,充要条件为AT=-A；

题目

n阶方阵A对任意n维向量x,满足x^TAx=0,充要条件为AT=-A；
证明：
充分性：
f=x^TAx,显然有f=x^T（A^T）x,所以f= x^T（-A）x
即有：x^T（-A）x= x^TAx
所以 x^TAx=0
必要性：
x^TAx=0有x^T（A^T）x=0
所以 x^T（A+ A^T）x=0
（A+ A^T）^T= A+ A^T (实对称)
又x有任意性
所以 A+ A^T=0
点评：以上方法肯定是对的,但请看以下诡异的事件：
充要条件为 A=0
证明：
充分性：略
必要性：
x^TAx=0有x^T(A^T)x=0
x^TAxx^T(A^T)x=0
即：x^T(Ax) (Ax) ^Tx=0
(Ax) (Ax) ^T实对称
又x有任意性所以(Ax) (Ax) ^T=0
所以 Ax=0
又x有任意性所以 A=0

答案

"又x有任意性所以(Ax) (Ax) ^T=0
所以 Ax=0"
这有问题,Ax是一个关于x变化的向量.
你令
A=
0 -1
1 0
就能得到反例