如图,⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°,圆心C的坐标是 _ .

如图,⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°,圆心C的坐标是 _ .

题目
如图,⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°,圆心C的坐标是 ___ .
作业帮
答案
作业帮 连接AB.
∵∠AOB=90°,
∴AB是⊙C的直径,C是线段AB的中点;
由于四边形ABMO内接于⊙C,
∴∠BAO=180°-∠BMO=60°.
在Rt△ABO中,OA=4,∠BAO=60°,则OB=4
3

所以B(-4
3
,0).
∵A(0,4),B(-4
3
,0),
∴C(-2
3
,2).
故答案为:(-2
3
,2).
连接AB,由于∠AOB是直角,根据圆周角定理可知AB必为⊙C的直径,即C是AB的中点,已知A点坐标,关键是求出B点的坐标.由图知:四边形ABMO是圆的内接四边形,因此内对角∠BAO、∠BMO互补,由此求得∠BAO的度数,进而可在Rt△BAO中,根据直角三角形的性质得到OB的长,从而确定点B的坐标,由此得解.

圆周角定理;坐标与图形性质;解直角三角形.

此题综合考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质以及坐标与图形性质等知识,正确地构造出直角三角形是解题的关键.

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