设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:①存在一条定直线与所有的圆均相切;②存在一条定直线与所有的圆均相交;③存在一条定直线与所有的圆均不相交;④所有
题目
设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:
①存在一条定直线与所有的圆均相切;
②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
其中真命题的代号是 ___ (写出所有真命题的代号).
答案
根据题意得:圆心(k-1,3k),
圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项②正确;
考虑两圆的位置关系,
圆k:圆心(k-1,3k),半径为
k
2,
圆k+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为
(k+1)
2,
两圆的圆心距d=
=
,
两圆的半径之差R-r=
(k+1)
2-
k
2=2
k+
,
任取k=1或2时,(R-r>d),C
k含于C
k+1之中,选项①错误;
若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误;
将(0,0)带入圆的方程,则有(-k+1)
2+9k
2=2k
4,即10k
2-2k+1=2k
4(k∈N*),
因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确.
则真命题的代号是②④.
故答案为:②④
根据圆的方程找出圆心坐标,发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上,所以这条直线与所有的圆都相交,②正确;根据图象可知这些圆互相内含,不存在一条定直线与所有的圆均相切,不存在一条定直线与所有的圆均不相交,所以①③错;利用反证法,假设经过原点,将(0,0)代入圆的方程,因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,假设错误,则圆不经过原点,④正确.
直线与圆的位置关系.
本题是一道综合题,要求学生会将直线的参数方程化为普通方程,会利用反证法进行证明,会利用数形结合解决实际问题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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