如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,

题目

如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,
如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A（3,0）,
B（0,3）两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S梯形OBCD=4根号3/3,求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．

答案

(1)
设AB为y=kx+b,∵y=kx+b过A,B两点 ∴｛3k+b=0; b=3｝ 解得{k=-1,b=3}
∴AB的解析式为y=-x+3
(2)
∵OA=OB=3,∠AOB=90° ,CD⊥x轴 ∴∠OAB=∠OBA=45° ,CD=AD ,OD=3-CD
设：CD为X（0 ≤ x＜3）.（3+x）（3-x）/ 2 = 4√3/3 解得X=√（81-24√3）/3
∴C｛3- √（81-24√3）/3,√（81-24√3）/3｝
(3)
存在
当OP为斜边时,作PE⊥X轴
∵∠OBP=90° BP=OB=3 ,∴ OP=3√2 ,OE=3 ∴P1（3,3）
当BP为斜边时,
∵OB=OP ∴OP与OA重合,P在X轴上 ∴该假设不成立
当OB为斜边时,作PF⊥X轴
∵∠OPB=90° OP=BP ∴∠BOP=45° ∴∠POE=45° ,OE=PE=OP√2 / 2
∵OB=3 ∴OP=3√2 / 2 ,OE=PE=3/2 ∴P2= （3/2,3/2）