x>0,y>0,且1/x+9/y=1,求x+y的最小值

题目

x>0,y>0,且1/x+9/y=1,求x+y的最小值
我知道正确的做法,x=4,y=12时最小,但以下做法为什么错
由1/x+9/y=1得x=y/(y-9)
x+y≥2根号下xy=2根号下((y/(y-9))*y)
y/(y-9)=y时最小y=10,x+y=20

答案

这里有一个限定条件：y+9x=xy
即1/x+9/y=1
a>0,b>0,a+b>=2√ab中,a,b之间是没有数量关系这一附加条件的,所以,当a=b时,a+b有最小值2√ab
xy+8x=y+x>=2√(xy)
由于有了限定条件,这个最小值（=号）的成立条件就变了.
不再是x=y,因为有1=1/x+9/y这个关系
x+y=y+y/(y-9)
=(y-9)+9+[(y-9)+9]/(y-9)
=1+9+(y-9)+9/(y-9)
>=10+6
y-9=9/(y-9),(y-9)^2=9=3^2
y-9=3,y-9=-3
y1=12,y2=6
x1=4.x2=-1/2=16
最小值为16
因为有了限定条件,即x和y之间有数量关系的约束时,不能直接利用a+b>=2√ab
必须用一个未知数通过它们之间的关系式替代另一个未知数去解（不等式）最大、最小值
这是最关键的.不能2个未知数一起来算
不要忘了二者是有关系的!