已知f(x)=x*lnx,设实数a>0,求函数F(x)=f(x)/a在[a,2a]上的最小值

题目

已知f(x)=x*lnx,设实数a>0,求函数F(x)=f(x)/a在[a,2a]上的最小值

答案

F(x)=f(x)/a
=x*lnx/a
F'(x)=(1/a)[lnx+1]
F(x)在1/e处有极值
在(0,1/e)内,F'(x)＜0,F(x)单调递减；
在(1/e,∞)内,F'(x)＞0,F(x)单调递增；
F(x)在1/e处有极小值.
1.
当0＜1/e＜a时,
F(1/e)＜F(a)＜F(2a),最小值为F(a)=lna;
2.
当0＜a＜1/e＜2a时,最小值为F(1/e)=-1/(ae);
3.
当0＜a＜2a＜1/e时,最小值为F(2a)=2ln(2a);