三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

题目

三次函数f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

答案

由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x³．
①当x=1时，上式对于b∈R都成立；
②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔3b＜

x3

x−1

恒成立，x∈（1，2]⇔3b＜[

x3

x−1

]min，x∈（1，2]．
令g（x）=

x3

x−1

，x∈（1，2]，则g′(x)＝

2x2(x− 3 2 )

(x−1)2

，由g^′（x）=0，解得x＝

3

2

．
列表如下：
由表格可知：当x=

3

2

时，g（x）取得极小值，也即最小值，g(

3

2

)＝

( 3 2 )3

3 2 −1

=

27

4

．
∴3b＜

27

4

，解得b＜

9

4

．
综上①②可知：b的取值范围是(−∞，

9

4

)．