已知抛物线y^2=2px(p>0)上有两动点A.B和一个定点M(x0,y0),F是抛物线的焦点,且AF,MF,BF成等差数列.求证:

已知抛物线y^2=2px(p>0)上有两动点A.B和一个定点M(x0,y0),F是抛物线的焦点,且AF,MF,BF成等差数列.求证:

题目
已知抛物线y^2=2px(p>0)上有两动点A.B和一个定点M(x0,y0),F是抛物线的焦点,且AF,MF,BF成等差数列.求证:
1.求证:线段A,B的垂直平分线经过定点Q(x0+p,0)
2.若MF=4,OQ=6(O为原点),求此抛物线方程
答案
(1)y²=2px,焦点为F(p/2,0),准线为x=-p/2,设A(x1,y1),B(x2,y2)
由抛物线定义知,|AF|=x1+p/2,|BF|=x2+p/2,|MF|=x0+p/2
由条件得 x1+x2+p=2x0+p,所以x1+x2=2x0,即AB的中点N的横坐标为x0.
另一方面,将A、B的坐标代入抛物线方程,得
y1²=2px1
y2²=2px2
两式相减,得(y2-y1)(y1+y2)=2p(x2-x1)
直线AB的斜率 k=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y1+y2)
设AB的中点N(x0,b) 则 k=p/b
AB的垂直平分线的方程为y-b=(-b/p)(x-x0),
令y=0,得x=x0+p
从而恒过定点Q(x0+p,0).
(2) 若|MF|=4 |OQ|=6,则x0+p/2=4,x0+p=6,解得,p=4
抛物线方程为y²=8x
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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