已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,则p的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
题目
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,则p的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则
①-②,得:(y
1-y
2)(y
1+y
2)=2p(x
1-x
2),
∴
•(y
1+y
2)=2p,
∵过抛物线C:y
2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,
∴
=1,AB方程为:y=x-
,
∵
为AB中点纵坐标,
∴y
1+y
2=2p,
∵
y1=x1−,
y2=x2−,
∴y
1+y
2=x
1+x
2-p,
∴x
1+x
2=y
1+y
2+p,
∵
==
,
∴AB中点横坐标为
,
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,
∴
+=4,解得p=2.
故选B.
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由点差法得到
•(y
1+y
2)=2p,因为过抛物线C:y
2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以
=1,AB方程为:y=x-
,故y
1+y
2=2p,AB中点横坐标为
,再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,能求出p.
直线与圆锥曲线的关系.
本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
举一反三
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