已知a为正整数,且a^3+2a^2_12a+15表示某素数,求出这个素数

题目

已知a为正整数,且a^3+2a^2_12a+15表示某素数,求出这个素数
a³+2a²-12a+15
=a³+125+2a²-12a-110
=(a+5)(a²-5a+25)+2(a²-6a-55)
=(a+5)(a²-5a+25)+2(a+5)(a-11)
=(a+5)(a²-5a+25+2a-22)
=(a+5)(a²-3a+3)
要使这个式子所得结果为素数，只可能：
⑴a+5为素数，a²-3a+3=1
由后者得a=1或a=2
当a=1时，a+5=6是合数；
当a=2时，a+5＝7是素数符合条件。
⑵a+5=1，a²-3a+3为素数
而a=-4不符合条件
故a=2时，a³+2a²-12a+15表示素数7
为什么要使（a+5）=1或a²-3a+3=1

答案

素数只有2个因素 1和它本身
因此(a+5)(a²-3a+3) 是素数 (a+5)(a²-3a+3)的2个因素 a+5 和a²-3a+3
且 a²-3a+3 =1 或者 a+5=1