已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围

已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围

题目
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
答案
(1)令x=0,则∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴f(1)-f(0)=0,
∴f(1)=f(0)
∵f(0)=1
∴f(1)=1,
∴二次函数图象的对称轴为x=
1
2

∴可令二次函数的解析式为f(x)=y=a(x-
1
2
)2+h

令x=-1,则∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴f(0)-f(-1)=-2
∵f(0)=1
∴f(-1)=3,
1
4
a+h=1
9
4
a+h=3

∴a=1,h=
3
4

∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x-
1
2
)2+
3
4
=x2-x+1

(2)∵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方
∴x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立
∴x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立
令g(x)=x2-3x+1,则g(x)=(x-
3
2
2-
5
4

∴g(x)=x2-3x+1在[-1,1]上单调递减
∴g(x)min=g(1)=-1,
∴m<-1
(1)根据二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x,可求f(1)=1,f(-1)=3,从而可求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,等价于x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,等价于x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立,求出左边函数的最小值,即可求得实数m的取值范围.

二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法;抽象函数及其应用;函数恒成立问题.

本题重点考查二次函数解析式的求解,考查恒成立问题的处理,解题的关键是将在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,转化为x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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