求复摆周期公式的推导

题目

求复摆周期公式的推导
是推导,不是结果

答案

这个要用到一点刚体力学和微分方程的知识：
设支点到质点距离为s .
因为复摆在摆动中受到重力矩作用M=-smgsinθ（重力与质点支点连线夹角 -指其与相对平衡点位移的方向相反 注意不是速度方向）
由刚体定轴转动定律 M=Jα 故 -smgsinθ=Jα
因为α=d^2θ/dt^2
故d^2θ/dt^2= -smgsinθ
这个微分方程严格解是困难的 故近似在原点θ=sinθ（这也就是为什么简谐运动要求角度在小于十度的原因）Jd^2θ/dt^2= -smgθ 移项：d^2θ/dt^2+（mgs/J）θ=0
解这个微分方程 令w^2=mgs/J
有θ=θ0cos（wt+b） T=2π/w 故有 2π根号下J/mgs 要注意这个地方转动惯量是指轴过支点的转动惯量 如果已知过质心的转动惯量要用平行轴定理J=J0+md^2(d为质心到轴过的某点的距离）