设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R. (1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值; (2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.

设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R. (1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值; (2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.

题目
设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
答案
(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).
因f(x)在x=3取得极值,所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3.
经检验知当a=3时,x=3为f(x)为极值点.
(2)令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1.
当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增
函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函
数,从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.
综上所述,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
(1)求出f′(x),由x=3取得极值得到f'(3)=0,求解得到a的值即可;
(2)因为函数在(-∞,0)上为增函数令f'(x)=0得到函数的驻点,由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可.

利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

考查学生利用导数研究函数极值及单调性的运用能力.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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