已知f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2 (x>=1) f^-1(x)是f(x)的反函数,记g(x)=1/f^-1(x)+√x+2

题目

已知f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2 (x>=1) f^-1(x)是f(x)的反函数,记g(x)=1/f^-1(x)+√x+2
求g(x)的最小值.

答案

可求得f^-1(x)=(1+√x)/(1-√x)(x≥0),从而可得
g(x)=(1-√x)/(1+√x)+√x+2=1/(1+√x)+(√x+1)≥2,
当且仅当1/(1+√x)=√x+1,即x=0时,g(x)有最小值2.