在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是_.

在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是_.

题目
在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是___.
答案
作业帮 取MN和BC的中点分别为E,F,
∵M,N分别是PB,PC的中点,
∴MN∥BC
∵MN⊂截面AMN
∴BC∥截面AMN
设截面AMN∩平面ABC=l
∴BC∥l
∵E,F分别为MN和BC的中点
∴AE⊥MN,AF⊥BC
∴∠EAF为所作的二面角的平面角,
设AB=a,∵截面AMN⊥侧面PBC,∴侧棱PA=PB=PC=
3
2
a
,∴PF=
2
2
a
,∴EF=
2
4
a

在直角△AEF中,AF=
3
2
a
,EF=
2
4
a

sin∠EAF=
6
6

故答案为:
6
6
取MN和BC的中点分别为E,F,可以证明BC∥截面AMN,设截面AMN∩平面ABC=l,从而BC∥l,故可知∠EAF为所作的二面角,从而可求棱锥截面与底面所成的二面角正弦值.

二面角的平面角及求法.

本题考查二面角的作法与计算,解题的关键是正确作出面面角、

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