an=2n-1,若不等式(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)≥k*根号下(2n+1)对一切n∈N均成立,求k的最大值
题目
an=2n-1,若不等式(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)≥k*根号下(2n+1)对一切n∈N均成立,求k的最大值
答案
(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)≥k√(2n+1)
要求k的最大值,即是求[(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)]/√(2n+1)的最小值
设函数f(x)=[(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)]/√(2n+1)
则 f(x+1)=[(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)(1+1/a(n+1)]/√(2n+3)
f(x)所有项都是正数
用f(x+1)/f(x)=1+1/a(n+1) * √(2n+1) / √(2n+3)
=1+1/2n+1 * √(2n+1) / √(2n+3)
=2n+2/2n+1 * √(2n+1) / √(2n+3)
=√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}
显然(2n+2)^2>(2n+1)*(2n+3) (作差即可得出)
所以√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}>1
所以f(x+1)/f(x)>1
f(x+1)>f(x)
即此函数递增,最小值为f(1)=2/√3=2√3/3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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