设函数f(x)＝x2+ax(x≤1)x+b(x＞1)，若该函数在实数集R上可导，求实数a、b的值和该函数的最小值．

题目

设函数f(x)＝

x2+ax(x≤1) x+b(x＞1)

，若该函数在实数集R上可导，求实数a、b的值和该函数的最小值．

答案

依题意f'（1）=2+a=1，且

lim

x→1+

f（x）=f（1）=1+a，
∴a=b=-1，
∴f（x）=

x2−x(x≤1) x−1(x＞1)

，
当x＞1时，f（x）＞0，
当x≤1时，f（x）=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

≥-

1

4

，
∴可得函数的最小值是f（

1

2

）=-

1

4

．

由题意函数f(x)＝

x2+ax(x≤1) x+b(x＞1)

，对其进行分段求导，求出a，b的值，然后根据二次函数的性质求出最小值．

本题考点：导数的概念；函数的最值及其几何意义．

考点点评：此题主要考查导数的概念及函数最值的求法，还有分段函数的应用，是一道比较基础的题．