第二类曲面积分转化为第一类曲面积分（当cos a有正有负时怎么做呢）?

题目

第二类曲面积分转化为第一类曲面积分（当cos a有正有负时怎么做呢）?
{{s [yf(x,y,z)+x]dydz+[xf(x,y,z)+y]dzdx+[2xyf{x,y,z)+z]dxdy,其中S是曲面z=1/2(x2+y2)介于z=2和z=8之间的曲面,法线朝上,f为连续函数.
将其转化为第一类曲线积分
求问：在化dydz时,cos a有正有负,

答案

从你的表述上来看,你只要化dydz为dxdy,
给出S曲面的方向即可了.
令p(x,y,z)=yf(x,y,z)+x a为曲面上点的法向量,与x轴正向的夹角,c为法向量与y正向的夹角
则∫∫S p(x,y,z)dydz=∫∫S p(x,y,z)cosads 由于dydz=cosads 所以不必考虑方向
=∫∫S p(x,y,z) cosa/cosc *cosc ds
=∫∫S p(x,y,z) cosa/cosc dxdy
所以只要确定了cosa,cosb,cosc的正负,在曲面积分坐标转换时就不必再考虑方向问题了.
至于什么时候要考虑方向问题,我也提一下吧:
在我们要计算第二类曲面积分的时候:
出了高斯公式等,我们一般就是先把他们转化成各个坐标平面上的二重积分:
此时就应该考虑方向问题:
比如根据c (即曲面法向量与z轴的夹角)
积分曲面S由单值函数z=z(x,y)给出,S在x0y平面的投影为Dxy,
我们有∫∫S R(x,y,z)dxdy=±∫∫(Dxy) R[x,y,z(x,y)]dxdy