如图,已知在三角形ABC中,BC边的中垂线DE交角BAC的平分线于点D,DM垂直AB于点M,DN垂直AC于点N,

题目

如图,已知在三角形ABC中,BC边的中垂线DE交角BAC的平分线于点D,DM垂直AB于点M,DN垂直AC于点N,
求证BM=CN

答案

证明：设AB>AC
在AB上取点F,使得AF=AC
根据已知条件可知F、C以及M、N均是以AD 为对称轴的点,
所以MF=NC FD=CD
而 BD=DC
所以 BD=FD
故△DBF为等腰三角形,DM是该三角形底边的高,所以也是其中线,即MF=BM
所以：BM=CN