正三棱锥的底面边长为a,棱和底面所成角的正弦值是（根号6）/3,则此三棱锥的表面积是______

题目

正三棱锥的底面边长为a,棱和底面所成角的正弦值是（根号6）/3,则此三棱锥的表面积是______

答案

设正三棱锥P-ABC,AB=BC=CA=a,作高PO,O是底正三角形的外心（重、垂、内）,
连结AO,并延长交BC于D,连结PD,
AD=√3a/2,
AO=2AD/3=√3a/3,
sincosAO/AP=cosAP=√3a,
PB=PC=PA=√3a,
根据勾股定理,
PD=√（PB^2-BD^2)=√11a/2,
S△PBC=PD*BC/2=√11a^2/4,
S△ABC=√3a^2/4,
则此三棱锥的表面积S=3√11a^2/4+√3a^2/4.