z 是复数,z^2=a+bi 用a,b 表示出z 的实部与虚部.

题目

z 是复数,z^2=a+bi 用a,b 表示出z 的实部与虚部.
我如果设z=m+n,得出m^2-n^2=a,2mn=b 然后代入求n,m 这样的方法可行吗?结果开方里面还有开方,有没有简便的答案?

答案

你的方法可以
但注意设的是z=m+ni
比如n=b/2m,然后代入第一个方程,左右乘以m^2,再把m^2看成一个未知数,那就是关于m^2的一元二次方程,解出即可.
也可以用如下方法（好像已经是一个公式了,但我记不住）
思路是这样：
每一个a+bi在复平面上是一个点
把a+bi表示成 Ce^(di)
C=根号(a^2+b^2),是这个复数的模
d是角度,tan(d)=b/a
求Ce^(di) 的平方根或者n次方根就很简单了.
例如求平方根,
结果就是 正负C^1/2 × e^(mi)
m表示一个角度,2m=d+2kpi,k是整数 即可.
一般不会有这种问题,但出现了也只好这样算,虽然有一点点麻烦.
如果像你这题,只求平方根,直接算比较方便.如果要求三次方根或者四次方根,那就只能用后一种方法求（把相关的2改成n即可）