求证:如果x+y为质数,则对奇数n,方程x^n+y^n=z^n不可能有整数解.

题目

求证:如果x+y为质数,则对奇数n,方程x^n+y^n=z^n不可能有整数解.

答案

用反证法.
证：
设x＋y为合数
则
①根据勾股定理和三角函数,存在n≥2时x^n＋y^n＝z^n的无限多组整数解,且当n＝2时每组解中必有一个值为偶数
②根据对数取数法则,存在n＝1时的无限多组解
但题设为x＋y为质数,无法分解
所以命题得证