定义在正整数集上的的函数y=f（x）对任意a,b∈N,都有f(a+b)=f(a)*f(b)恒成立

题目

定义在正整数集上的的函数y=f（x）对任意a,b∈N,都有f(a+b)=f(a)*f(b)恒成立
已知f（1）=a≠0,若an=f（n）（n∈N+）
（1）求证：数列｛an｝是等比数列,并求出数列｛an｝的通项公式
（2）若Sn=a1+a2+……+an,数列｛Sn-2an｝是等比数列,求实数a的值

答案

（1）由题设可知,f(2)=f(1)*f(1)=a*f(1),当n≥2时,an=f(n)=f[(n-1)+1]=f(n-1)*f(1)=a*a(n-1).故{an}是首项为a,公比为a的等比数列,通项an=a^n.(n=1,2,...).(2)显然,a=1时,an=1,Sn=n.Sn-2an=n-2不是等比数列.故a≠1.令bn=Sn-2an,b1=-a,b2=a(1-a).b3=-a(a²-a-1).由题设知,[a(1-a)]²=a²(a²-a-1).===>a=2.