三角函数y=sin(x)的有理数和无理数闹矛盾了

题目

三角函数y=sin(x)的有理数和无理数闹矛盾了
三角函数y=sin(x),当x=0时y=0,这时候x和y都是有理数,在其他x不等于0的情况下发现,当x是有理数时,y是无理数,当x是无理数时,y是有理数.那么可不可以找到一个点（x,y）,x和y都同为无理数或者有理数? 这是不是那个pi搞的鬼?如果证明的话,是不是要把泰勒公式什么的拉出来? 求数学高手解答.x09求大神帮助

答案

很容易找到x和y都同为无理数的例子.下面证明除(0,0)外,x和y不可能同为有理数.反证法,假设x和y同为有理数.y为有理数,所以它是代数数,所以sqrt(1-y^2)是代数数,所以cos x是代数数,所以cos x+i sin x=e^(i x)是代数数,这与Lindemann–Weierstrass定理产生矛盾.