三角函数y=sin(x)的有理数和无理数闹矛盾了

三角函数y=sin(x)的有理数和无理数闹矛盾了

题目
三角函数y=sin(x)的有理数和无理数闹矛盾了
三角函数y=sin(x),当x=0时y=0,这时候x和y都是有理数,在其他x不等于0的情况下发现,当x是有理数时,y是无理数,当x是无理数时,y是有理数.那么可不可以找到一个点(x,y),x和y都同为无理数或者有理数? 这是不是那个pi搞的鬼?如果证明的话,是不是要把泰勒公式什么的拉出来? 求数学高手解答.x09求大神帮助
答案
很容易找到x和y都同为无理数的例子.下面证明除(0,0)外,x和y不可能同为有理数.反证法,假设x和y同为有理数.y为有理数,所以它是代数数,所以sqrt(1-y^2)是代数数,所以cos x是代数数,所以cos x+i sin x=e^(i x)是代数数,这与Lindemann–Weierstrass定理产生矛盾.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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