f(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导,且f′(x)>0,若x趋向于a+,limf(2x-a)/(x-a)存在,证明:在(a,b)内,f(x)>0

题目

f(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导,且f′(x)>0,若x趋向于a+,limf(2x-a)/(x-a)存在,证明:在(a,b)内,f(x)>0

答案

由于x趋于a+时,分母x-a是趋于0的,所以如果极限limf(2x-a)/(x-a)存在,分子f(2x-a)也必须趋于0,这样的0/0型未定式极限才可能存在.故x趋于a+时有limf(2x-a)=0,由于f(x)在x=a+处连续,故limf(2x-a)=f(2a-a)=f(a),由此可知f(a)=0,而在(a.b)内f'(x)>0,即f(x)严格递增,所以有f(x)>f(a)=0,这样就证明了在(a,b)内f(x)>0.