已知抛物线y=ax2+（b-1）x+2． （1）若抛物线经过点（1，4）、（-1，-2），求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线与直线y=x有两个不同的交点P、Q，且点P、Q关于原点对称． ①求b的值

题目

已知抛物线y=ax²+（b-1）x+2．

（1）若抛物线经过点（1，4）、（-1，-2），求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线与直线y=x有两个不同的交点P、Q，且点P、Q关于原点对称．
①求b的值；
②请在横线上填上一个符合条件的a的值：a=______，并在此条件下画出该函数的图象．

答案

（1）由题意可得：

a+b−1+2＝4 a−(b−1)+2＝−2

，
解得

a＝−1 b＝4

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+2；
（2）①已知抛物线和直线y=x相交于P，Q两点，则有：
ax²+（b-1）x+2=x，
ax²+（b-2）x+2=0；
设P，Q的坐标为（x₁，y₁）（x₂，y₂）；
∵点P、Q关于原点对称，
∴x₁+x₂=-

b−2

a

=0，
∴b=2．
②根据①可知抛物线的解析式为y=ax²+x+2．
当a=-1时，y=-x²+x+2，如图：

（1）将已知的两点的坐标代入抛物线中通过联立方程组即可求出二次函数的解析式；
（2）联立直线y=x和抛物线的解析式，得出一个关于x的一元二次方程，由于P，Q的坐标关于原点对称，那么这两点的横坐标的和应该为0，即得出的方程的两根之和为0，根据韦达定理即可求出b的值．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、一元二次方程根与系数的关系等知识点．