如何证明(p1p2…pk)^(1/n)是无理数.

题目

如何证明(p1p2…pk)^(1/n)是无理数.
已知p1,p2,...,pk是互不相等的素数,n>=2
一楼的证明是我原来的想法,但十分牵强.为什么说此时a^n=p1p2…pk 这和p1，p2，...pk是互不相等的素数矛盾呢?
二楼的是否有笔误呢？“可见b^n有约数p1，p2，...pk
又p1，p2，...pk是互不相等的素数，所以p1，p2，...pk也是b的约数”

答案

反证法假设(p1p2…pk)^(1/n)是有理数不妨设(p1p2…pk)^(1/n)=b/a,（a、b为整数,且它们最大公约数为1）则b^n=a^n*p1*p2*…*pk可见b^n有约数p1,p2,...,pk又p1,p2,...,pk是互不相等的素数,所以p1,p2,...,pk也是b的约数...