已知p为素数,且g^x=1(mod p^a),求证g^(px)=1(mod p^(a+1)),

题目

已知p为素数,且g^x=1(mod p^a),求证g^(px)=1(mod p^(a+1)),
注意x不一定是p-1,可能只是p-1约数
x不一定是(p-1)p^(a-1)可能只是(p-1)p^(a-1)约数

答案

证明:
设g^x=np^a+1 (n为整数)
则g^(px)=(np^a+1)^p
=C(p,0)+C(p,1)np^a+C(p,2)(np^a)^2+...+C(p,p)(mp^a)^p
=1+.
因为p为素数,所以容易验证p|C(p,m) (2