在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求

题目

在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求
求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.

答案

1、连结AO,A1O,
∵O是A1在平面ABC上的投影,
∴OA1⊥平面ABC,
∴A1O⊥AO,A1O⊥BC,
∵AB=AC=√5,
∴△ABC是等腰△,
∵BO=OC,(已知),
∴AO⊥OB,
OB=BC/2=2,
根据勾股定理,AO=√(AB^2-OB^2)=√(5-4)=1,
∴S△ABC=BC*AO/2=4*1/2=2,
A1O=√(AA1^2-AO^2)=2,
∴VA1-ABC=S△ABC*A1O/3=2*2/3=4/3,
∵同底等高的三棱锥是三棱柱体积的1/3,
VA1-ABC=VC-A1B1C1=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=VA1-ABC=4/3,
设C至平面AA1B1B距离为d,
A1B=√(A1O^2+OB^2)=√(4+4)=2√2,
A1B1=BB1=√5,
作B1M⊥A1B,交A1B于M,
BM=A1B/2=√2,
B1M=√(5-2)=√3,
∴S△A1B1B=A1B*B1M/2=2√2*√3/2=√6,
VC-A1BB1=d*S△A1B1B/3=√6d/3,
√6d/3=4/3,
∴ d=4/√6=2√6/3.
2、设二面角A1-AB-C的平面角为θ,
∵△AOB是△A1AB在平面ABC上的投影,
∴S△AOB=S△A1AB*cosθ,
S△AOB=AO*BO/2=1*2/2=1,
由前所述,S△A1AB=S△A1B1B=√6,（二△全等）,
∴cosθ=1/√6=√6/6.
∴二面角A1-AB-C的余弦值为√6/6.
3、∵AA1//BB1,
M∈AA1,N∈BB1,
MN的最小值就是平行线的距离,
从平行线段的任一点作另一线段的垂线段,则就是二平行线的距离,即MN的最小值,
在△A1AB中,作BQ⊥AA1,
S△A1AB=√6,
S△A1AB=AA1*BQ/2=√5*BQ/2=√6,
∴BQ=2√6/√5=2√30/5.
∴MN的最小距离为2√30/5.
稍等.正上传图