在直角梯形ABCD中,∠C=90°,高CD=6cm,底BC=10cm(如图1).动点Q从点B出发,沿BC运动到点C停止,运动的速度都是1cm/s.同时,动点P也从B点出发,沿BA→AD运动到点D停止,

在直角梯形ABCD中,∠C=90°,高CD=6cm,底BC=10cm(如图1).动点Q从点B出发,沿BC运动到点C停止,运动的速度都是1cm/s.同时,动点P也从B点出发,沿BA→AD运动到点D停止,

题目
在直角梯形ABCD中,∠C=90°,高CD=6cm,底BC=10cm(如图1).动点Q从点B出发,沿BC运动到点C停止,运动的速度都是1cm/s.同时,动点P也从B点出发,沿BA→AD运动到点D停止,且PQ始终垂直BC.设P,Q同时从点B出发,运动的时间为t(s),点P运动的路程为y(cm).分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系(如图2),已知如图中线段为y与t的函数的部分图象.经测量点M与N的坐标分别为(4,5)和(2,
5
2
)


(1)求M,N所在直线的解析式;
(2)求梯形ABCD中边AB与AD的长;
(3)写出点P在AD边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图2中补全整运动中y关于t的函数关系的大致图象.
答案
(1)设:设M,N所在直线的解析式为y=tx+b,把点M与N的坐标(4,5)和(2,
5
2
)
,分别代入得:
5=4t+b
5
2
=2t+b

解得:t=
5
4
,b=0.
∴M,N所在直线的解析式为y=
5
4
x;
(2)∵P在AB段与AD段的解析式不同,
∴AB段:y=
t
cosB

∴AD段:y=
6
sinA
(此处为AB段长度)+t-
6
tanB
(此处为Q运动到A点时,BQ的长度),由(1)可知,cosB=
4
5

又∵CD=6cm,BC=10cm
∴由勾股定理可得AB=10CM,AD=2CM.
(3)由(2)可知:AB段:y=
5
4
t(t<8);
AD 段:y=t+2 (8≤t≤10),再画函数的图象即可.
(1)设M,N所在直线的解析式为y=kx+b,把点M与N的坐标(4,5)和(2,
5
2
)
,代入求的k和b值,问题得解;
(2)由题意可知P在AB段与AD段的解析式不同,把每一段的函数表达式求出,再利用勾股定理可把AB与AD的长求出;
(3)由(2)可知:AB段:y=
5
4
t(t<8);AD段:y=t+2(8≤t≤10),再画函数的图象即可.

一次函数综合题.

本题考查了一次函数和直角梯形、三角形的相关知识的综合应用.借助函数图象表达题目中的信息,求出函数值、函数表达式,并解答相应的问题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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