(1)已知函数F(X)=X的三次方-X
题目
(1)已知函数F(X)=X的三次方-X
设a>0,如果过点(a,b)可做曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a
答案
此题解法:假设切点横坐标是m,则切线斜率是3×m^2-1,从而切线方程是:y-(m^3-m)=(3m^2-1)(x-m),化简得:y+2m^3=(3m^2-1)x
经过(a,b),所以有:2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0,由于过(a,b)可作三条切线,因此关于m的方程
2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0
必须有3个解,考虑三次函数g(m)=2m^3-3a(m^2)+(a+b),求导讨论极值点g'(m)=6m(m-a),在m=0处极大值,m=a>0处极小值,
显然g(+∞)=+∞,g(-∞)=-∞,g(m)=0有三个解必须有
g(0)>0,g(a)0,-a^3+a+b
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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