如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC． （1）求证△ABC∽△ADB； （2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB

题目

如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．

（1）求证△ABC∽△ADB；
（2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长．

答案

证明：（1）∵AC是圆O的直径
∴∠ABC=90°
∵AD⊥BP
∴∠ADB=90°∴∠ABC=∠ADB
∵PB是圆的切线
∴∠ABD=∠ACB
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB
∴△ABC∽△ADB．
（2）连接OP，在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米
∴OP=13厘米
∵PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．
∴OP⊥AB，OP 平分AB，
∴△ABC∽△PAO
∴

AB

AC

＝

AP

OP

∴

AB

10

＝

12

13

∴AB=

120

13

厘米