设A是N阶矩阵,A=E+xyT,x与y都是Nx1矩阵,且xTy=2,求A的特征值与特征向量?

题目

设A是N阶矩阵,A=E+xyT,x与y都是Nx1矩阵,且xTy=2,求A的特征值与特征向量?

答案

首先(xy^T)x=x(y^Tx)=x(x^Ty)^T=2x.
又x非零,于是由Ax=Ex+(xy^T)x=3x,x是属于3的特征向量.
另一方面,以y^T为系数矩阵的线性方程组y^Tz=0解空间维数为n-1(因为y的秩为1).
其解向量满足y^Tz=0,故Az=Ez+(xy^T)z=z+x(y^Tz)=z.
于是y^Tz=0的解空间是A的属于1的特征子空间,其中非零向量均为特征向量.
综合得A有特征值3和重数为n-1的特征值1,对应特征向量分别如所述.