已知△ABC中,AB=43,AC=23,AD为BC边上的中线,且∠BAD=30°,则BC=_.

已知△ABC中,AB=43,AC=23,AD为BC边上的中线,且∠BAD=30°,则BC=_.

题目
已知△ABC中,AB=4
3
,AC=2
3
,AD为BC边上的中线,且∠BAD=30°,则BC=______.
答案
取AB的中点E,得到BE=AE=
1
2
AB=2
3

连接DE,可得DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AC,
∴DE=
1
2
AC=
3
,即DE=
1
2
AE,
∵∠BAD=30°,
∴∠EDA=90°,
根据勾股定理得:AD=
AE2−ED2
=3,
∵ED∥AC,
∴∠DAC=∠ADE=90°,
根据勾股定理得:DC2=AD2+AC2=9+12=21,即DC=
21

则BC=2DC=2
21

故答案为:2
21
取AB的中点E,连接ED,根据D为BC中点,得到DE为三角形ABC中位线,进而确定出DE与AC平行,在三角形AED中,由AE=
1
2
AB=2
3
,DE=
1
2
AC=
3
,且∠BAD=30°,得到三角形AED为直角三角形,确定出∠ADE=90°,利用勾股定理求出AD的长,利用两直线平行内错角相等得到∠DAC=90°,利用勾股定理求出DC的长,根据BC=2DC即可确定出BC的长.

余弦定理.

此题考查了余弦定理,勾股定理,以及中位数定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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