一道关于一元函数导数的问题

题目

一道关于一元函数导数的问题
把y看作自变量 ,x 为因变量 ,变换方程求证
{(dy/dx) * [(dy)^3/d(x^3)]} - 3 {[(dy)^2/d(x^2)] ^2} = x
dy/dx = (dx/dy) ^-1
再由 复合函数求导法和反函数求导法做：
(dy)^2/d(x^2) = d/dx[(dx/dy)]^-1
第一个：这为什么是 复合函数?
= (d/dy)* [(d/dx)^(-1)] * (dy/dx)
第二个地方：
= - [（dx/dy）^(-2)] * [（dx）^2/d(y^2)] *[ (dx/dy) ^(-1)]
= - (dx/dy)^(-3) *[(dx)^2/d(y^2)]
完全看不懂,
many thx!

答案

第一个疑问：
这一步中,如果设(dx/dy)^(-1)=u的话,
这里的y处于自变量的位置,所以u是一个关于y的函数,
d/dx[(dx/dy)^(-1)]=du/dx
所以这个式子最终的自变量还是x
又因为y是关于x的函数
所以u是一个关于x的复合函数
所以d²y/dx²=d/dx[(dx/dy)^(-1)]=du/dx=(du/dy)(dy/dx)
第二个疑问：
这一步中,如果设dx/dy=t的话
(d/dy)[(dx/dy)^(-1)](dy/dx)
={d[t^(-1)]/dy}(dy/dx)
=[t^(-1)]'(dy/dx)
=-t^(-2)t'(dy/dx) 因为在t中,是将y视为自变量的,所以t'是t对y的导数
=-[(dx/dy)^(-2)](d²x/dy²)(dy/dx)
=-[(dx/dy)^(-2)][d²x/dy²)(dx/dy)^(-1)