已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x)(x>0)-f(x)(x<0).(1)若f(-1)=0,且函数f(x)≥0的对任意x属于一切实数成立,求F(x)的表达式;
题目
已知函数f(x)=ax
2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)≥0的对任意x属于一切实数成立,求F(x)的表达式;
(2)在 (1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
答案
(1)由题意,函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,即b=a+1,∵函数f(x)≥0对任意x属于一切实数恒成立,即ax2+bx+1≥0对x∈R恒成立,∴a>0△=b2-4a≤0,∵b=a+1,∴a>0(a+1)2-4a=(a-1)2...
(1)根据f(-1)=0,可得b与a关系,又对任意实数x均有f(x)≥0成立,根据二次函数的性质,即可得到关于a和b的不等关系,从而求得a和b的值,即可得F(x)的表达式;
(2)由(1)中可得f(x)的解析式,从而求得g(x)的解析式,根据二次函数的性质可知,当对称轴在区间两侧的时候,函数f(x)为单调函数,可以得到2≤
或
≤-2,求解即可求得实数k的取值范围.
函数单调性的性质;分段函数的解析式求法及其图象的作法.
本题考查了函数单调性的性质,分段函数解析式的求法.本题重点考查了二次函数的性质,对于二次函数要注意数形结合的应用,注意抓住二次函数的开口方向,对称轴,以及判别式的考虑.属于中档题.
举一反三
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