已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则xyz的最大值是_.

已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则xyz的最大值是_.

题目
已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则xyz的最大值是______.
答案
∵x+y+z=1①,x2+y2+z2=3②
∴①2-②可得:xy+yz+xz=-1
∴xy+z(x+y)=-1
∵x+y+z=1,
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z(x+y)=-1-z(1-z)=z2-z-1
∵x2+y2=3-z2≥2xy=2(z2-z-1)⇒3z2-2z-5≤0⇒-1≤z≤
5
3

令f(z)=xyz=z3-z2-z,则f′(z)=3z2-2z-1=(z-1)(3z+1)
令f′(z)>0,可得z>1或z<
1
3

∴f(z)在区间[-1,-
1
3
]单调递增,在[-
1
3
,1]单调递减,在[1,
5
3
]单调递增,
当z=-
1
3
时,xyz的值为
5
27
,当z=
5
3
时,xyz的值为
5
27

∴xyz的最大值为
5
27

故答案为:
5
27
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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