对一切实数x,有f(1/2+x)=1/2+√f(x)-f(x),证明：f(x)为周期函数,并求其周期.

题目

对一切实数x,有f(1/2+x)=1/2+√f(x)-f(x),证明：f(x)为周期函数,并求其周期.

答案

由原式得到,f(x)-f(x)²=f(1/2+x)²-f(1/2+x)+1/4
用x+1/2代入上式,得到：
f(1/2+x)-f(1/2+x)²=f(1/2+1/2+x)²-f(1/2+1/2+x)+1/4=f(1+x)²-f(1+x)+1/4
则得到,f(x)-f(x)²=f(1/2+x)²-f(1/2+x)+1/4=-f(1+x)²+f(1+x)-1/4+1/4=f(1+x)-f(1+x)²
整理得到,f(1+x)²-f(1+x)=f(x)²-f(x),于是周期是1