已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,若直线x+y-1=0和椭圆交于A,B两点,|AB|=二倍根号二,AB的中点M和椭圆中心连线的K=二分之根号二,求椭圆方程?

题目

已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,若直线x+y-1=0和椭圆交于A,B两点,|AB|=二倍根号二,AB的中点M和椭圆中心连线的K=二分之根号二,求椭圆方程?

答案

设所求椭圆方程是x^2/m+y^2/n=1,(m>0,n>0),①
把y=1-x,②
代入①,nx^2+m(1-2x+x^2)=mn,
（m+n)x^2-2mx+m-mn=0,③
△=4m^2-4(m+n)(m-mn)
=4(m^2n+mn^2-mn)
=4mn(m+n-1),
∴|AB|=√(2△）/(m+n)=2√2,
∴mn(m+n-1)=(m+n)^2,④
由③,AB中点M:xM=m/(m+n),
代入②,yM=1-xM=n/(m+n),
∴OM的斜率k=n/m=√2/2,m=n√2,⑤
代入④,√2n^2[n(√2+1）-1]=n^2(3+2√2）,
∴√2（√2+1）n=3(√2+1）,
∴n=3/√2,
代入⑤,m=3,
∴所求椭圆方程是x^2/3+y^2/(3/√2)=1.