大连24中习题.已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,若直线x+y-1=0和椭圆交于A.B两点,|AB|=二倍根号二,AB的中点M和椭圆中心连线的K=二分之根号二,求椭圆方程.来试试吧

题目

大连24中习题.已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,若直线x+y-1=0和椭圆交于A.B两点,|AB|=二倍根号二,AB的中点M和椭圆中心连线的K=二分之根号二,求椭圆方程.来试试吧

答案

首先设椭圆方程为x^2/a+y^2/b=1
根据两直线相交算出M点坐标{y=二分之根号二x,x+y-1=0}
所以M点x坐标=根号2/(1+根号2）,M点y坐标=1/（1+根号2）
又M为A,B中点.所以XA+XB=二倍根号二/(1+根号二）,YA+YB=2/(1+根号2）
其次{x^2/a+y^2/b=1,x+y-1=0}
算出XA+XB=2a/(a+b),YA+YB=(a-ab)/(a+b),两项相除得b=根号2+1,
所以a=2+根号2.
最后代入椭圆标准方程即得答案