椭圆与直线

题目

椭圆与直线
椭圆的两个焦点坐标为（-1,0）（1,0）,椭圆上存在一点x-y+4=0上,求长轴长最大时椭圆的方程.
我的解答是：c=1,a^2-b^2=1,设椭圆方程x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1
又x-y+4=0,联立,得(2a^2-1)x^2+8 a^2 x^2+17a^2-a^4=0
Δ=8a^6-76a^4+68a^2
题干中的“存在一点”是仅存在一点,还是有交点

答案

由椭圆的定义可以知道：直线x-y+4=0上一点p到两焦点距离之和为2a（a为半长轴长）所以,问题转化为直线上一点p,到两焦点距离之和最小,作其中一点关于直线的对称点F'这个线段长就是最短长轴长