双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.
题目
双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.
答案
由题意k>0,c=
,
渐近线方程l为y=
x,
准线方程为x=±
,于是A(
,
),
直线FA的方程为y=
,
于是B(-
,
).
由B是AC中点,则x
C=2x
B-x
A=-
,
y
C=2y
B-y
A=
.
将x
C、y
C代入方程kx
2-y
2=1,得
k
2c
4-10kc
2+25=0.
解得k(1+
)=5,则k=4.
所以双曲线方程为:4x
2-y
2=1.
由题设条件求出A(
,
),B(-
,
).由B是AC中点,知x
C=2x
B-x
A=-
,y
C=2y
B-y
A=
.
将x
C、y
C代入方程kx
2-y
2=1,得k
2c
4-10kc
2+25=0.求出k的值,从而得到双曲线方程.
双曲线的简单性质.
本题考查双曲线的性质和综合运用,解题时要认真审题,仔细解答.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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