已知函数f(x)=根号下（1+2^x+3^x*a)在（负无穷大,1）上有定义,求a的取值范围.

题目

已知函数f(x)=根号下（1+2^x+3^x*a)在（负无穷大,1）上有定义,求a的取值范围.

答案

当a>=0时,1+2^x+3^x*a>0,成立
当a<0时,设g(x)=1+2^x+3^x*a
g连续,在（负无穷大,1）上>＝0,所以g(1)>=0
0>a>=-1
下面证明0>a>=-1时成立:
g(x)=1+2^x+3^x*a >= 1+2^x-3^x=h(x)
h'(x)=2^x*ln2-3^x*ln3
当0<=x<1时,h'(x)<0
h(x)递减,任意0=h(1)=0
当x<0时,2^x>3^x,所以h(x)>1>0
所以当0>a>=-1时,g(x)在（负无穷大,1）上大于等于0
所以a的取值范围是[-1,正无穷）