证明y=ax^2+bx+c,(a>0),在(-∞,2a分之b）上是减函数,在（-2a分之b,+∞）上是增函数

题目

证明y=ax^2+bx+c,(a>0),在(-∞,2a分之b）上是减函数,在（-2a分之b,+∞）上是增函数
证明y=ax^2+bx+c,(a>0),在(-∞,2a分之b）上是减函数,在（-2a分之b,+∞）上是增函数.

答案

不是b/2a,而是-b/2a
令x1f(x1)-f(x2)
=ax1²+bx1+c-ax2²-bx2-c
=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)
=(x1-x2)[a(x1+x2)+b]
x1x1<-b/2a,x2<-b/2a
所以x1+x2<-b/a
a>0,两边乘a
a(x1+x2)<-b
所以a(x1+x2)+b<0
所以(x1-x2)[a(x1+x2)+b]>0
即x1f(x2)
所以x<-b/2a是减函数
令-b/2af(x1)-f(x2)
=(x1-x2)[a(x1+x2)+b]
x1x1>-b/2a,x2>-b/2a
所以x1+x2>-b/a
a>0,两边乘a
a(x1+x2)>-b
所以a(x1+x2)+b>0
所以(x1-x2)[a(x1+x2)+b]<0
即-b/2a所以x>-b/2a是增函数