直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1/2AA1=a,

题目

直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1/2AA1=a,
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1/2 AA1=a,角BAC=90°,D为棱B1B的中点.求异面直线A1C与C1D所成角的大小.

答案

分别取CC1、A1C1的中点E、F,连结EF、BE、BF、B1F.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1
∴BB1//CC1且BB1=CC1
∵D、E分别是BB1、CC1的中点
∴BD=(1/2)BB1,C1E=(1/2)CC1
∴BD//C1E且BD=C1E.
∴四边形BDC1E是平行四边形.
∴BE//C1D
∵E、F分别是CC1、A1C1的中点
∴EF是△A1C1C的中位线
∴EF//A1C
∴∠BEF就是求异面直线A1C与C1D所成的角.
由题意：B1F^2=A1B1^2+A1F^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4.
则BF^2=BB1^2+B1F^2=(2a)^2+5a^2/4=21a^2/4.
而BE=√(BC^2+CE^2)=√(AB^2+AC^2+CE^2)=√(a^2+a^2+a^2)=(√3)a
EF=√(C1E^2+C1F^2)=√[a^2+(a/2)^2]=(√5)a/2
∴cos∠BEF=(BE^2+EF^2-BF^2)/(2*BE*EF)=-(√15)/15
∴异面直线A1C与C1D所成角的大小就是arccos[-(√15)/15].