如图矩形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作EF‖AD,交AB,CD于点E,F,过点P作GH平行BA交AD,BC于点G、H

题目

如图矩形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作EF‖AD,交AB,CD于点E,F,过点P作GH平行BA交AD,BC于点G、H

1. 当P不是AC中点时,四边形EHFG是梯形

2. 当点P是AC中点时,四边形EHFG是什么四边形
   

答案

⑴设AP与EG相交于M,PC与HF相交于N,
∵ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∵EF∥AD,GH∥AB,
∴AD∥EF∥BC,AB∥GH∥CD,
∴四边形AEPG与四边形PHCF是平行四边形,
∵∠EAG=∠HCF=90°,
∴平行四边形AEPG与平行四边形PHCF是矩形,
∴AG=PA,MP=MG,HF=PC,NP=NH,
∴∠MPG=∠MGP,∠NPH=∠NHP,
∵∠APG=∠NPH,
∴∠MGP=∠NHP,
∴EG∥HF,
∵PA≠PC,∴GE≠HF,
∴四边形EHGF是梯形.
⑵当P为AC中点时,EG=HF,又EG∥HF,
∴四边形EHGF是平行四边形,
又EF⊥GH,
∴平行四边形EHFG是菱形.