若数列an极限是l,求证a2n和an+k的极限为l.用数学分析学的那个定义证明

题目

若数列an极限是l,求证a2n和an+k的极限为l.用数学分析学的那个定义证明

答案

因为lim an=l
由定义：
任意ε>0,存在N>0,当n>N,有| an-l |N1,即,2n>2N1=2N>N,就有| a(2n)-l |0,存在N1>0,当n>N1,有| a(2n)-l |N2,即,n+k>N2+k>N2=N,就有| a(n+k)-l |0,存在N2>0,当n>N2,有| a(n+k)-l |