A是m×n矩阵,m＞n,求证AA′有m个特征值与A′A相同,并且AA′其余的特征值为0

题目

A是m×n矩阵,m＞n,求证AA′有m个特征值与A′A相同,并且AA′其余的特征值为0
错了,是有n个特征值相同.不过我也不能确定这个结论一定是正确的.请线代学得好的哥们帮忙验证一下吧~

答案

此题用到结论:r(A) = r(A'A) = r(AA')
那么 我们只需证明 A'A 与 AA' 有相同的非零特征值就行了.
设b(lamda) 是A'A的非零特征值,x是A'A的属于特征值b的特征向量,则有
A'Ax = bx.两边左乘A得:(AA')(Ax) = b(Ax).
显然 Ax != 0,所以b是A'A的特征值.即有:A'A的非零特征值都是AA'的特征值.
反之,同理可证AA'的非零特征值都是A'A的特征值.
所以 A'A与AA'有相同的非零特征值.
证毕!